De regreso a lo básico

Paúl Lira Briceño

Mediciones estadísticas del riesgo en un proyecto (Parte 2)

Es momento de aplicar lo desarrollado en la entrega anterior. Retornemos a nuestro conocido caso de la máquina de SIPECA SAC. Al proyecto de esta empresa, le hemos aplicado el análisis de sensibilidad por variables y por escenarios, y, también, hemos hallado el punto de equilibrio. Toca ahora efectuar el análisis estadístico.

Para empezar, tenemos que elaborar los escenarios que pensamos pueda
enfrentar el proyecto. Afortunadamente ya los tenemos, por favor
revise, el post El análisis de sensibilidad (Parte 2)del 31.03.2011,
sino se acuerda.

lira1.jpg

Note que las variables que se modifican en los 3 escenarios son ventas,
precio, costos variables y costos fijos. Por su parte, la inversión, el
impuesto a la renta y el COK, se mantienen iguales.

Ahora, vamos a introducir en el cuadro anterior, las probabilidades de
ocurrencia de cada escenario. Creemos que el escenario base, tendrá un
50% de probabilidad que ocurra durante la vida del proyecto. De igual
manera, los escenarios optimista y pesimista, tendrán 25% de
probabilidad de ocurrencia cada uno. Un aparte, es importante notar
tres puntos: uno. Las probabilidades de ocurrencia deben sumar 100;
dos. El escenario base, debe tener una mayor probabilidad; y, tres.
Existen métodos que permiten determinar la probabilidad asignada a cada
escenario. Uno de los utilizados es el Método Delfos.

Incluyamos, entonces, en nuestro cuadro anterior, las probabilidades para cada escenario:

lira2.jpg

Hemos omitido las variables inversión, impuesto a la renta y COK, por tomar un valor similar en cualquier escenario.

Ahora le pregunto, qué pasaría con el VPN de este proyecto, si lo
repetimos, teóricamente, muchísimas veces. Pues que este indicador se
distribuiría de manera normal y, si esto es así, entonces, lo único que
nos interesaría como inversores, es cuánto esperar de rentabilidad en
promedio (el VPN esperado ó VPNE) y cuál, sería el riesgo al que nos
enfrentaríamos (la desviación estándar ó σ).

Obtengamos primero el VPNE. Hay varios caminos para hacerlo, escojamos
el más simple; hallemos el VPN de cada escenario, luego multipliquemos
cada escenario por la probabilidad de ocurrencia y los resultados, así
obtenidos, sumémoslos. El valor que obtengamos, es el VPNE. Si queremos
una definición más formal, entonces sería así:

VPNE = Σ VPNi x Prob.i

Regresando al caso, el VPNE del proyecto se obtiene de la manera siguiente:

lira3.jpg

¡Listo!, ya sabemos que, en promedio, podemos esperar de este proyecto
una rentabilidad de $256,438.27. Ahora toca hallar el riesgo del
proyecto, el cual, estará medido por la volatilidad de la rentabilidad
del mismo. Para eso, debemos calcular la desviación estándar del VPN.
Sin embargo, primero, hay que obtener la varianza (acuérdese, que la
desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza).

La fórmula para la varianza se detalla a continuación:

σ2 = Σ (VPNi – VPNE)2 * Prob.i

En simple, al VPN de cada escenario tiene que restarle el VPNE,
elevarlo al cuadrado y, luego, multiplicarlo por su probabilidad de
ocurrencia y, posteriormente, sumarlo. El resultado obtenido, es la
varianza del VPN del proyecto. Desarrollémoslo para una mejor
comprensión:

lira4.jpg

Ese número no nos dice mucho. Un indicador que tiene más sentido, es la
desviación estándar. Así que a esa cantidad, hay que sacarle la raíz
cuadrada. No se olvide que la desviación estándar, está en la misma
unidad de medida que el indicador que estamos analizando. Dado que el
VPN está expresado en unidades monetarias, entonces, también, lo estará
la desviación estándar.

lira5.jpg

La desviación estándar del proyecto de SIPECA, asciende a $274,552.36.

¿Y la σ de qué nos sirve?, bueno, podemos hacer un análisis del tipo
que desarrollamos en la entrega anterior. Podemos armar, entonces, tres
intervalos sumando al VPNE +/- 1σ, 2σ y 3σ. Gráficamente, tendríamos
esto:

lira6.jpg

¿Basándonos en este análisis, podríamos concluir, que el proyecto de
SIPECA es riesgoso? La respuesta es afirmativa, pues, ya el límite
inferior del primer intervalo, es negativo.

También, podemos obtener la probabilidad que el VPN del proyecto, sea
mayor o igual a cero. El gráfico siguiente, muestra lo que queremos
obtener:

lira7.jpg

Antes de seguir con la explicación, tenemos que tener muy claro que la
distribución normal, es simétrica. Es decir, existe una probabilidad
del 50% que el VPN del proyecto, sea mayor a $ 256,438.27 y, también,
existe la misma probabilidad que sea menor a esa suma. También, puede
verlo así, existe la probabilidad de 84.13% (50% a la derecha del VPNE
+ 68.26%/2) que el VPN sea igual o mayor que $-18.1 miles.

Lo que buscamos entonces es la probabilidad que el proyecto tenga un
VPN mayor o igual a 0, es decir en el gráfico buscamos el área a la
derecha de 0. Debemos encontrar a cuantas desviaciones del VPNE se
encuentra el punto 0. Dividimos entonces el VPNE por la σ:

256.4/274.6 = 0.934    Es decir, se necesita 93.4% de una σ, para ubicar el punto donde el VPNE es igual a cero.

Otra vez, debemos tener presente la simetría de la distribución normal.
Una desviación estándar hacia la izquierda del promedio, tiene una
probabilidad de 34.13% (68.26%/2). Entonces, si a 31.88% (93.4% del
34.13%) le agregamos 50% (probabilidad de obtener un VPN superior al
VPNE), obtenemos 81.88%.

50% + (68.26% / 2) * 93.4% = 81.88%     Ese porcentaje representa la
probabilidad que el VPN del proyecto de SIPECA, sea mayor o igual a 0.
¿Es riesgoso el proyecto?, bueno, lo único que le puedo decir, es que
existe una probabilidad de 1 entre 5 que el proyecto no sea rentable.
Recuerde lo que le dije: “Cada uno es dueño de sus propios miedos”. Con
estos datos, tome su decisión.

También, hay otra manera de ver el riesgo de un proyecto. Para tal
efecto utilizamos el coeficiente de variación (cv), el mismo que indica
cuantas unidades de riesgo por unidad de rentabilidad esperada, se
obtiene del proyecto que estamos analizando. La fórmula se presenta a
continuación:

cv =| σ / VPNE|    Debemos tener presente que, mientras más alejado de
1 este el cv, el proyecto será más riesgoso; por el contrario, mientras
más cercano a 0, menos riesgoso será. En el caso del proyecto de
SIPECA, se obtiene un cv de 1.07:

cv = |274.6 / 256.4| = 1.07    Por cada unidad de rentabilidad
esperada, el proyecto nos entrega 1.07 unidades de riesgo. Podemos
concluir que el proyecto es medianamente riesgoso.

Por último, el cv se utiliza de manera preponderante, cuando se está
evaluando el riesgo de dos o más proyectos. Para ilustrar este punto,
pongamos esta situación hipotética: tenemos dos proyectos, el proyecto
A tiene una σ de $10,000 y el proyecto B de $15,000. Basándose
exclusivamente en la σ, se debería escoger el proyecto A como el menos
riesgoso (menos σ = menos volatilidad = menos variabilidad de los
resultados esperados con respecto al promedio). Ahora, introduzcamos el
VPNE de cada proyecto. Así con el proyecto A, se obtiene una
rentabilidad promedio de $10,000; mientras que el proyecto B, entrega
$150,000. ¿Cambia en algo la percepción del riesgo? Por supuesto que
sí, en el A, el proyecto que habíamos escogido como menos riesgoso, nos
entrega 1 unidad de riesgo por cada unidad de rentabilidad esperada, en
cambio, el proyecto B entrega sólo 0.1 unidades de riesgo por unidad de
rentabilidad. Obviamente, el proyecto B, debe ser el escogido como el
menos riesgoso. Conclusión: cuando estamos evaluando el riesgo de más
de un proyecto, debemos utilizar el cv y no la σ.

En la  próxima entrega, trataré sobre la Simulación Montecarlo.

COMENTARIOS

  • 1
  • 15.05.2011
  • 01:31:08 hs
Enrrique

Yo hallé la probabilidad de que la rentabilidad sea mayor a cero con un 82.38% usando la tabla Normal Estandar, esta diferencia se debe a que en la solución descrita se esta interpolando entre (-)desvest y cero; lo cual supone que la curva es en realidad una recta uniforme en ese rango. Más alla del detalle, como siempre muy buena la explicación del tema, esperamos su siguiente publicación profesor Lira

  • 2
  • 15.05.2011
  • 07:03:48 hs
Jorge Del Castillo C.

Estimado Paul, ¿cual es el pograma que usas para graficar la campana de gauss e identificar los intervalos de confianza, tal como aparece en este interesante articulo?

Saludos,

  • 3
  • 17.05.2011
  • 10:19:40 hs
Enrique Tito

Quizas uno de los aspectos principales en riesgo sea predecir las volatilidades (riesgo) en el que estan insertos los activos financieros y con esas volatilidades valorar activos o simplemente valorar proyectos. y el trabajo principal de los analistas sea la toma de decisiones sobre que variables economicas en una empresa se concentran las mayores perdidas y de acuerdo a ello predecir dichas volatilidades de acuerdo a un horizonte de tiempo. obviamente mediante un modelo que se haya validado previamente.

  • 4
  • 18.05.2011
  • 10:58:42 hs
SANTIAGO CHUNG RAMÍREZ

SON EXCELENTES ARTÍCULOS ACÁDEMICOS, DIDACTICOS Y MUY ÚTILES , TOTALMENTE SELECCIONADOS Y ARMADOS EN LA SECUENCIA IDEAL. MIS FELICITACIONES PARA EL PRODUCTOR

  • 5
  • 14.05.2011
  • 12:49:30 hs
Pedro Camarena

Excelente explicación señor Lira, la parte que me llama la atención es la asignación de probabilidad de cada escenario, tengo entendido que el método de DELPHI esta basado en la obtención de información a expertos en el tema, quisiera saber que otros métodos existen. Muchas gracias por sus notas tan importantes, saludos.

  • 6
  • 14.05.2011
  • 12:51:39 hs
primo_858@hotmail.com

Una consulta, la parte de Simulación de Montecarlo lo va hacer con una aplicacion de software (Crystall ball, Risk Simulator). saludos

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