Es momento de aplicar lo desarrollado en la entrega anterior. Retornemos a nuestro conocido caso de la máquina de SIPECA SAC. Al proyecto de esta empresa, le hemos aplicado el análisis de sensibilidad por variables y por escenarios, y, también, hemos hallado el punto de equilibrio. Toca ahora efectuar el análisis estadístico.

Para empezar, tenemos que elaborar los escenarios que pensamos pueda enfrentar el proyecto. Afortunadamente ya los tenemos, por favor revise, el post "El análisis de sensibilidad (Parte 2)" del 31.03.2011, sino se acuerda.

Note que las variables que se modifican en los 3 escenarios son ventas, precio, costos variables y costos fijos. Por su parte, la inversión, el impuesto a la renta y el COK, se mantienen iguales.

Ahora, vamos a introducir en el cuadro anterior, las probabilidades de ocurrencia de cada escenario. Creemos que el escenario base, tendrá un 50% de probabilidad que ocurra durante la vida del proyecto. De igual manera, los escenarios optimista y pesimista, tendrán 25% de probabilidad de ocurrencia cada uno. Un aparte, es importante notar tres puntos: uno. Las probabilidades de ocurrencia deben sumar 100; dos. El escenario base, debe tener una mayor probabilidad; y, tres. Existen métodos que permiten determinar la probabilidad asignada a cada escenario. Uno de los utilizados es el Método Delfos.

Incluyamos, entonces, en nuestro cuadro anterior, las probabilidades para cada escenario:

Hemos omitido las variables inversión, impuesto a la renta y COK, por tomar un valor similar en cualquier escenario.

Ahora le pregunto, qué pasaría con el VPN de este proyecto, si lo repetimos, teóricamente, muchísimas veces. Pues que este indicador se distribuiría de manera normal y, si esto es así, entonces, lo único que nos interesaría como inversores, es cuánto esperar de rentabilidad en promedio (el VPN esperado ó VPNE) y cuál, sería el riesgo al que nos enfrentaríamos (la desviación estándar ó σ).

Obtengamos primero el VPNE. Hay varios caminos para hacerlo, escojamos el más simple; hallemos el VPN de cada escenario, luego multipliquemos cada escenario por la probabilidad de ocurrencia y los resultados, así obtenidos, sumémoslos. El valor que obtengamos, es el VPNE. Si queremos una definición más formal, entonces sería así:


Regresando al caso, el VPNE del proyecto se obtiene de la manera siguiente:

¡Listo!, ya sabemos que, en promedio, podemos esperar de este proyecto una rentabilidad de $256,438.27. Ahora toca hallar el riesgo del proyecto, el cual, estará medido por la volatilidad de la rentabilidad del mismo. Para eso, debemos calcular la desviación estándar del VPN. Sin embargo, primero, hay que obtener la varianza (acuérdese, que la desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza).

La fórmula para la varianza se detalla a continuación:


En simple, al VPN de cada escenario tiene que restarle el VPNE, elevarlo al cuadrado y, luego, multiplicarlo por su probabilidad de ocurrencia y, posteriormente, sumarlo. El resultado obtenido, es la varianza del VPN del proyecto. Desarrollémoslo para una mejor comprensión:

Ese número no nos dice mucho. Un indicador que tiene más sentido, es la desviación estándar. Así que a esa cantidad, hay que sacarle la raíz cuadrada. No se olvide que la desviación estándar, está en la misma unidad de medida que el indicador que estamos analizando. Dado que el VPN está expresado en unidades monetarias, entonces, también, lo estará la desviación estándar.

La desviación estándar del proyecto de SIPECA, asciende a $274,552.36.



¿Y la σ de qué nos sirve?, bueno, podemos hacer un análisis del tipo que desarrollamos en la entrega anterior. Podemos armar, entonces, tres intervalos sumando al VPNE +/- 1σ, 2σ y 3σ. Gráficamente, tendríamos esto:

¿Basándonos en este análisis, podríamos concluir, que el proyecto de SIPECA es riesgoso? La respuesta es afirmativa, pues, ya el límite inferior del primer intervalo, es negativo.

También, podemos obtener la probabilidad que el VPN del proyecto, sea mayor o igual a cero. El gráfico siguiente, muestra lo que queremos obtener:

Antes de seguir con la explicación, tenemos que tener muy claro que la distribución normal, es simétrica. Es decir, existe una probabilidad del 50% que el VPN del proyecto, sea mayor a $ 256,438.27 y, también, existe la misma probabilidad que sea menor a esa suma. También, puede verlo así, existe la probabilidad de 84.13% (50% a la derecha del VPNE + 68.26%/2) que el VPN sea igual o mayor que $-18.1 miles.

Lo que buscamos entonces es la probabilidad que el proyecto tenga un VPN mayor o igual a 0, es decir en el gráfico buscamos el área a la derecha de 0. Debemos encontrar a cuantas desviaciones del VPNE se encuentra el punto 0. Dividimos entonces el VPNE por la σ:

256.4/274.6 = 0.934    Es decir, se necesita 93.4% de una σ, para ubicar el punto donde el VPNE es igual a cero.

Otra vez, debemos tener presente la simetría de la distribución normal. Una desviación estándar hacia la izquierda del promedio, tiene una probabilidad de 34.13% (68.26%/2). Entonces, si a 31.88% (93.4% del 34.13%) le agregamos 50% (probabilidad de obtener un VPN superior al VPNE), obtenemos 81.88%.

50% + (68.26% / 2) * 93.4% = 81.88%     Ese porcentaje representa la probabilidad que el VPN del proyecto de SIPECA, sea mayor o igual a 0. ¿Es riesgoso el proyecto?, bueno, lo único que le puedo decir, es que existe una probabilidad de 1 entre 5 que el proyecto no sea rentable. Recuerde lo que le dije: "Cada uno es dueño de sus propios miedos". Con estos datos, tome su decisión.

También, hay otra manera de ver el riesgo de un proyecto. Para tal efecto utilizamos el coeficiente de variación (cv), el mismo que indica cuantas unidades de riesgo por unidad de rentabilidad esperada, se obtiene del proyecto que estamos analizando. La fórmula se presenta a continuación:

cv =| σ / VPNE|    Debemos tener presente que, mientras más alejado de 1 este el cv, el proyecto será más riesgoso; por el contrario, mientras más cercano a 0, menos riesgoso será. En el caso del proyecto de SIPECA, se obtiene un cv de 1.07:

cv = |274.6 / 256.4| = 1.07    Por cada unidad de rentabilidad esperada, el proyecto nos entrega 1.07 unidades de riesgo. Podemos concluir que el proyecto es medianamente riesgoso.

Por último, el cv se utiliza de manera preponderante, cuando se está evaluando el riesgo de dos o más proyectos. Para ilustrar este punto, pongamos esta situación hipotética: tenemos dos proyectos, el proyecto A tiene una σ de $10,000 y el proyecto B de $15,000. Basándose exclusivamente en la σ, se debería escoger el proyecto A como el menos riesgoso (menos σ = menos volatilidad = menos variabilidad de los resultados esperados con respecto al promedio). Ahora, introduzcamos el VPNE de cada proyecto. Así con el proyecto A, se obtiene una rentabilidad promedio de $10,000; mientras que el proyecto B, entrega $150,000. ¿Cambia en algo la percepción del riesgo? Por supuesto que sí, en el A, el proyecto que habíamos escogido como menos riesgoso, nos entrega 1 unidad de riesgo por cada unidad de rentabilidad esperada, en cambio, el proyecto B entrega sólo 0.1 unidades de riesgo por unidad de rentabilidad. Obviamente, el proyecto B, debe ser el escogido como el menos riesgoso. Conclusión: cuando estamos evaluando el riesgo de más de un proyecto, debemos utilizar el cv y no la σ.

En la  próxima entrega, trataré sobre la Simulación Montecarlo.